Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1．
（1）當a=$\frac{1}{2}$時，求關于x的不等式f（x）≤0的解集；
（2）當a＞0時，求關于x的不等式f（x）≤0的解集．

Answer 1

分析 （1）當a=$\frac{1}{2}$時，原不等式等價于（2x-1）（x-2）≤0，解得即可，
（2）當a＞0時，x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1≤0等價于（x-a）（x-$\frac{1}{a}$）≤0，對a進行分類討論即可．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時，f（x）≤0，即x²-$\frac{5}{2}$x+1≤0，
即2x²-5x+2≤0，即（2x-1）（x-2）≤0，解得$\frac{1}{2}$≤x≤2，
故不等式的解集為[$\frac{1}{2}$，2]；
（2）當a＞0時，x²-（a+$\frac{1}{a}$）x+1≤0等價于（x-a）（x-$\frac{1}{a}$）≤0
①若0＜a＜1，解得：a≤x≤$\frac{1}{a}$，故其解集為[a，$\frac{1}{a}$]
②若a=1，解得：x=1；故其解集為{1}，
③若a＞1，解得：$\frac{1}{a}$≤x≤a，故其解集為[$\frac{1}{a}$，a]．

點評 本題考查了分類討論、一元二次不等式的解法、一元二次方程的解法等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．