Question

13．若圓（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=3與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線相切，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進(jìn)而利用圓心到漸近線的距離為圓的半徑求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而利用c²=a²+b²求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可求．

解答 解：∵雙曲線漸近線為bx±ay=0，與圓相切，
∴圓心到漸近線的距離為$\frac{|\sqrt{3}b-a|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$或$\frac{|\sqrt{3}b+a|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，求得a=$\sqrt{3}$b，
∴c²=a²+b²=4b²，
∴e=$\frac{2b}{\sqrt{3}b}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式等．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想的運用．