Question

AB是圓O的直徑，F(xiàn)為圓O上一點(diǎn)，∠BAF的角平分線與圓O交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作圓O的切線與直線AF相交于點(diǎn)D，若AB=6，∠DAB=

π

3

．
（1）求證：AD⊥CD；
（2）求DF•DA的值．

Answer 1

分析：（1）由AB是圓O的直徑，可得∠ACB=

π

2

．由于∠DAB=

π

3

，AC平分∠DAB．利用角平分線的性質(zhì)可得∠CAB=∠CAD=

π

6

，可得∠ABC=

π

3

．利用切線的性質(zhì)可得∠ACD=∠ABC=

π

3

．可得∠ADC=

π

2

．即可．
（2）在Rt△ABC中，利用AB=6，∠ABC=

π

3

．可得AC=AB•sin

π

3

．在Rt△ACD中，DC=AC•cos∠ACD．再利用切割線定理可得：DF•DA=DC²即可．

解答：（1）證明：如圖所示．
∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=

π

2

．
∵∠DAB=

π

3

，AC平分∠DAB．
∴∠CAB=∠CAD=

π

6

，∴∠ABC=

π

3

．
∵DC與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠ACD=∠ABC=

π

3

．
∴∠CAD+∠ACD=

π

2

．
∴∠ADC=

π

2

．
∴AD⊥DC．
（2）在Rt△ABC中，∵AB=6，∠ABC=

π

3

．
∴AC=AB•sin

π

3

=3

3

．
在Rt△ACD中，DC=AC•cos∠ACD=3

3

×

1

2

=

3 3

2

．
由切割線定理可得：DF•DA=DC²=(

3 3

2

)2=

27

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題中考查了圓的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、角平分線的性質(zhì)、切割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于中檔題．