Question

設f（x）=lg

1+2x+4xa

3

，如果當x∈（-∞，1]時f（x）有意義，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：f（x）有意義，則真數(shù)大于0，所以問題轉(zhuǎn)化為1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式問題．分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決．注意到4^x=（2^x）²，換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題．

解答：解：當x∈（-∞，1]時f（x）=lg

1+2x+4xa

3

有意義的函數(shù)問題，
轉(zhuǎn)化為1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式問題．
不等式1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即：a＞-[（

1

2

）^2x+（

1

2

）^x]在x∈（-∞，1]上恒成立．
設t=（

1

2

）^x，則t≥

1

2

，又設g（t）=t²+t，其對稱軸為t=-

1

2

∴g（t）=t²+t在[

1

2

，+∞）上為增函數(shù)，當t=

1

2

時，g（t）有最小值g（

1

2

）=（

1

2

）²+

1

2

=

3

4

所以a的取值范圍是a＞-

3

4

．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域、不等式恒成立問題，考查換元法和轉(zhuǎn)化思想．