Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=，且a_n+2=．
（I）求證：數列為等差數列；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）求下表中前n行所有數的和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）把所給的遞推式整理，構造要求的數列形式，仿寫一個遞推式，用數列的后一項去減前一項，合并同類項，發(fā)現滿足等差中項公式，得到結論．
（2）寫出（1）中的數列通項，用疊乘的方法把其他項都約去，得到第n項和第一項，因第一項可求出結果，所以得到通項公式．
（3）根據表中構造的新數列，由它的特點寫出第n行的各數之和，代入所求數列的通項，整理出組合數形式，用二項式定理的各項系數之間的關系，得到第n行的各數之和，于是構造一個新數列用等比數列前n項和公式求解．
解答：解：（I）∵
=
=，
∴，
∴數列滿足等差中項公式為等差數列．

（II）由（I）得
故當n≥2時，
即
又當n=1時，滿足上式
所以通項公式為．

（III）∵
∴第n行各數之和
∴表中前n行所有數的和
S_n=（2²-2）+（2³-2）++（2ⁿ⁺¹-2）
=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-2n
=
=2ⁿ⁺²-2n-4
點評：有關數列的試題經常是綜合題，經常把數列知識和指數函數、對數函數和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數列、等比數列，求極限和數學歸納法綜合在一起．探索性問題是高考的熱點，常在數列解答題中出現．