Question

已知函數(shù)f（x）=

mx3

3

+ax²+（1-b²）x，m，a，b∈R．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，若函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，求a²+b²+2a+4b的最大值；
（2）當(dāng)a=1，b=

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過求導(dǎo)，利用函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，得出a、b滿足的條件，把要求化為a²+b²+2a+4b=（a+1）²+（b+2）²-5，而

(a+1)2+(b+2)2

表示的是點(diǎn)P（-1，-2）到a、b滿足的區(qū)域上的點(diǎn)的距離，先求出其最大值，進(jìn)而即可得出答案；
（2）由“函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間”，可先考慮其反面是“函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減或恒為常數(shù)”，得出m的取值范圍，進(jìn)而即可得出答案．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=

1

3

x3+ax2+(1-b2)x，∴f^′（x）=x²+2ax+1-b²．
∵函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，∴f^′（x）=x²+2ax+1-b²≥0（不恒為0）在R上恒成立，∴△=4a²-4（1-b²）≤0，化為a²+b²≤1．
a²+b²+2a+4b=（a+1）²+（b+2）²-5，
而

(a+1)2+(b+2)2

表示的是點(diǎn)P（-1，-2）到圓面a²+b²≤1上的任意一點(diǎn)的距離，∵點(diǎn)P到此圓面的最大距離為|OP|+r=

12+22

+1=

5

+1，
∴a²+b²+2a+4b的最大值=(

5

+1)2-5=1+2

5

．
（2）當(dāng)a=1，b=

2

時(shí)，f（x）=

mx3

3

+x2-x，∴f^′（x）=mx²+2x-1．
由“函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間”其反面是“函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減或恒為常數(shù)”，
先考慮其反面：①無論m什么實(shí)數(shù)，f（x）不可能為常數(shù)．
②若函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，則f^′（x）≤0（不恒為0）恒成立．
∴必有

m＜0 △=4 +4m≤0

或

m=0 f′(x)≤0

．
當(dāng)m=0時(shí)，不滿足題意，應(yīng)舍去；
由

m＜0 △=4 +4m≤0

解得m≤-1，其補(bǔ)集為m＞-1．
故當(dāng)m＞-1時(shí)，函數(shù)f（x）在（2，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合求最值、“三個(gè)二次”的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．在直接解決問題不好考慮的情況下要善于通過反面問題的解決的方法解決問題．