Question

（2012•山東）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶．某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為

3

4

，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為

2

3

，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．
（Ⅰ）求該射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析：（I）記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由于A=B

.

C

.

D

+

.

B

C

.

D

+

.

B

.

C

D，根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性可求出所求；
（II）根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，根據(jù)事件的對(duì)立性和互斥性可得相應(yīng)的概率，得到分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：（I）記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D
由題意知P（B）=

3

4

，P（C）=P（D）=

2

3

由于A=B

.

C

.

D

+

.

B

C

.

D

+

.

B

.

C

D
根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得
P（A）=P（B

.

C

.

D

）+P（

.

B

C

.

D

）+P（

.

B

.

C

D）=P（B）P（

.

C

）P（

.

D

）+P（

.

B

）P（C）P（

.

D

）+P（

.

B

）P（

.

C

）P（D）
=

3

4

×（1-

2

3

）×（1-

2

3

）+（1-

3

4

）×

2

3

×（1-

2

3

）+（1-

3

4

）×（1-

2

3

）×

2

3

=

7

36

（II）根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5
根據(jù)事件的對(duì)立性和互斥性得
P（X=0）=P（

.

B

.

C

.

D

）=（1-

3

4

）×（1-

2

3

）×（1-

2

3

）=

1

36

P（X=1）=P（B

.

C

.

D

）=

3

4

×（1-

2

3

）×（1-

2

3

）=

1

12

P（X=2）=P（

.

B

C

.

D

+

.

B

.

C

D）=P（

.

B

C

.

D

）+P（

.

B

.

C

D）=（1-

3

4

）×

2

3

×（1-

2

3

）+（1-

3

4

）×（1-

2

3

）×

2

3

=

1

9

P（X=3）=P（BC

.

D

）+P（B

.

C

D）=

3

4

×

2

3

×（1-

2

3

）+

3

4

×（1-

2

3

）×

2

3

=

1

3

P（X=4）=P（

.

B

CD）=（1-

3

4

）×

2

3

×

2

3

=

1

9

P（X=5）=P（BCD）=

3

4

×

2

3

×

2

3

=

1

3

故X的分布列為

X	0	1	2	3	4	5
P	1 36	1 12	1 9	1 3	1 9	1 3

所以E（X）=0×

1

36

+1×

1

12

+2×

1

9

+3×

1

3

+4×

1

9

+5×

1

3

=

41

12

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望，以及分布列和事件的對(duì)立性和互斥性，同時(shí)考查了計(jì)算能力和分析問題的能力，屬于中檔題．