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18.已知公差為0的等差數(shù)列{an}滿足a1=1,且a1,a3-2,a9成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和為Sn,并求使得Sn2n+14成立的最小正整數(shù)n.

分析 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程,求出d的值,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an
(2)由(1)化簡1anan+1,利用裂項(xiàng)相消法求出Sn,化簡Sn2n+14求出n的范圍,即可求出最小正整數(shù)n.

解答 解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
由a1,a3-2,a9成等比數(shù)列得,(2d-1)2=1×(1+8d),
則d2-3d=0,解得d=3或d=0(舍去),
所以an=1+(n-1)d=3n-2;
(2)由(1)得,1anan+1=13n23n+1=1313n213n+1),
則Sn=13[(1-14)+(1417)+…+(13n213n+1)]
=13113n+1)=n3n+1,
所以Sn2n+14n3n+12n+14,化簡得,
n2-25n-8>0,又n是正整數(shù),解得n≥26,
所以Sn=n3n+1,使得Sn2n+14成立的最小正整數(shù)n為26.

點(diǎn)評 本題考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,考查了化簡、變形能力.

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