Question

已知橢圓的離心率為，過(guò)的左焦點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)的右焦點(diǎn)為，在圓上是否存在點(diǎn)，滿足，若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）;若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）圓上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足..

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、垂徑定理、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩個(gè)圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.第一問(wèn)，利用直線方程得到橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合離心率，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，利用點(diǎn)到直線的距離求出圓心到直線的距離，由已知弦長(zhǎng)為，則由垂徑定理得到圓的半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到和，代入已知中，得到P點(diǎn)的軌跡方程為圓，利用兩個(gè)圓的位置關(guān)系判斷兩個(gè)圓相交，所以存在點(diǎn)P.
因?yàn)橹本�的方程為，
令，得，即            1分
∴ ，又∵，
∴ ，
∴橢圓的方程為.              ４分
（2）∵圓心到直線的距離為，
又直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，
∴由垂徑定理得，
故圓的方程為.           ８分
設(shè)圓上存在點(diǎn)，滿足即，
且的坐標(biāo)為，
則，整理得，它表示圓心在，半徑是的圓。
∴               １２分
故有，即圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)。
∴圓上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足.        １４分
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、垂徑定理、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩個(gè)圓的位置關(guān)系.