Question

已知二階矩陣M=

a 1 3 d

有特征值λ=-1及對應(yīng)的一個(gè)特征向量

e1

=

1 -3

．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）設(shè)曲線C在矩陣M的作用下得到的方程為x²+2y²=1，求曲線C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算,變換、矩陣的相等,矩陣特征值的定義

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（I）根據(jù)矩陣的特征值與特征向量的定義建立等式關(guān)系，解之即可求出a和d的值，從而求出矩陣M；
（II）設(shè)點(diǎn)A（x，y）為曲線C上的任一點(diǎn)，它在矩陣M的作用下得到的點(diǎn)為A'（x'，y'），然后建立等式關(guān)系，將A'（x'，y'）代入方程為x²+2y²=1進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）

a 1 3 d

1 -3

=-1×

1 -3

=

-1 3

，∴

a-3=-1 3-3d=3

解得

a=2 d=0

，∴M=

2 1 3 0

．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x，y）為曲線C上的任一點(diǎn)，它在矩陣M的作用下得到的點(diǎn)為A'（x'，y'），
則

2 1 3 0

x y

=

x′ y′

，所以

x′=2x+y y′=3x

代入x²+2y²=1得（2x+y）²+2•（3x）²=1，
所以所求的曲線方程為22x²+4xy+y²=1．…（7分）

點(diǎn)評：本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想．