Question

定義在[-6，6]上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上是減函數(shù)，且f（3）=0，則不等式xf（x）＞0的解集是（　�。�

A．[-6，6]

B．（-3，0）∪（3，6）

C．[-6，-3）∪（0，3）

D．（-3，3）

Answer 1

分析：利用函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（3）=0，得到f（-3）=0，然后利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上是減函數(shù)，得到函數(shù)在[-6，0]上為增函數(shù)，從而得到函數(shù)f（x）的取值，解不等式即可．

解答：解：∵函數(shù)f（x）是定義在[-6，6]上的偶函數(shù)，在區(qū)間[0，6]上是減函數(shù)，且f（3）=0
∴函數(shù)在[-6，0]上為增函數(shù)，且f（-3）=-f（3）=0，（如圖，直線只代表函數(shù)的單調(diào)性．）
∴當(dāng)-3＜x＜3時(shí)，f（x）＞0，
當(dāng)3＜x≤6或-6≤x＜-3時(shí)，f（x）＜0．
當(dāng)x＞0時(shí)，不等式xf（x）＞0，等價(jià)為f（x）＞0．此時(shí)0＜x＜3．
當(dāng)x＜0時(shí)，不等式xf（x）＞0，等價(jià)為f（x）＜0．此時(shí)-6≤x＜-3．
∴不等式xf（x）＞0的解集為 {x|-6≤x＜-3或0＜x＜3}．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．