Question

10．對于任意實(shí)數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.1]=1，[-2.1]=-3．定義在R上的函數(shù)f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f（x），0＜x＜1}，則A中所有元素之和為44．

Answer 1

分析 對x分類討論，利用[x]的意義，即可得出函數(shù)f（x）的值域A，進(jìn)而A中所有元素之和．

解答 解：∵[x]表示不超過x的最大整數(shù)，A={y|y=f（x），0＜x＜1}，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{8}$時(shí)，0＜2x＜$\frac{1}{4}$，0＜4x＜$\frac{1}{2}$，0＜8x＜1，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+0=0；
當(dāng)$\frac{1}{8}$≤x＜$\frac{1}{4}$時(shí)，$\frac{1}{4}$≤2x＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$≤4x＜1，1≤8x＜2，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+1=1；
當(dāng)$\frac{1}{4}$≤x＜$\frac{3}{8}$時(shí)，$\frac{1}{2}$≤2x＜$\frac{3}{4}$，1≤4x＜$\frac{3}{2}$，2≤8x＜3，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1=2=3；
當(dāng)$\frac{3}{8}$≤x＜$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{3}{4}$≤2x＜1，$\frac{3}{2}$≤4x＜2，3≤8x＜4，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1+3=4；
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{5}{8}$時(shí)，1≤2x＜$\frac{5}{4}$，2≤4x＜$\frac{5}{2}$，4≤8x＜5，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+4=7；
當(dāng)$\frac{5}{8}$≤x＜$\frac{3}{4}$時(shí)，$\frac{5}{4}$≤2x＜$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$≤4x＜3，5≤8x＜6，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+5=8；
當(dāng)$\frac{3}{4}$≤x＜$\frac{7}{8}$時(shí)，$\frac{3}{2}$≤2x＜$\frac{7}{4}$，3≤4x＜$\frac{7}{2}$，6≤8x＜7，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+6=10；
當(dāng)$\frac{7}{8}$≤x＜1時(shí)，$\frac{7}{4}$≤2x＜2，$\frac{7}{2}$≤4x＜4，7≤8x＜8，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+7=11；
∴A={0，1，3，4，7，8，10，11}．
∴A中所有元素之和為0+1+3+4+7+8+10+11=44．
故答案為：44．

點(diǎn)評 本題考查了新定義、函數(shù)的值域、不等式的性質(zhì)、集合，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．