Question

直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的中線，若AB，AD，AC成等比數列，則∠ADC等于    ．

Answer 1

【答案】分析：由題設條件直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的中線，若AB，AD，AC成等比數列，得出AD²=AB×AC，由此等式接合三角形面積公式建立起∠ADC的正弦的方程，求出其正弦值，再求角
解答：解：由題意AB，AD，AC成等比數列得AD²=AB×AC
又直角三角形ABC中，AD是斜邊BC上的中線，
∴AD²=BC²，
又AB×AC=2S_ABC=4S_ADC=4×AD×DC×sin∠ADC=4××BC×BC×sin∠ADC=BC²sin∠ADC
∴BC²=BC²sin∠ADC
∴sin∠ADC=
∴∠ADC=或
故答案為：或
點評：本題考查數列與三角的綜合，解題的關鍵是理解題意根據直角三角形中的性質建立起關于sin∠ADC的方程求出角的正弦值從而得到角的值，本題考查了方程的思想，轉化的思想以及根據所建立的方程進行運算求值的能力，本題通過面積建立方程，由于高中數學中利用此關系建立等式不太常用，且題設中的條件形式看似利于用余弦定理的知識建立方程導致方法不易尋到，對學過的知識牢固掌握，對面對的習題有著全面的理解，可以避免這種失誤