Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E： （a＞b＞0），圓O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圓O的一條切線l：y=kx+m與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)k=﹣ ，r=1時(shí)，若點(diǎn)A，B都在坐標(biāo)軸的正半軸上，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，探究a，b，r之間的等量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意原點(diǎn)O到切線l：y=﹣ x+m的距離為半徑1，∴ ，m= ，
切線l：y=﹣ x+ ，A（0， ），B（ ，0）
∴a= ，b= ，∴橢圓E的方程為： ．
（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
聯(lián)立 ，得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．
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．
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，∴ ；
（k2+1）x1x2+km（x1+x2）=m2（a2+b2）=（k2+1）a2b2…①
又∵圓O的一條切線l：y=kx+m，∴原點(diǎn)O到切線l：y=kx+m的距離為半徑rm2=（1+k2）r2…②
由①②得r2（a2+b2）=a2b2 ．
∴以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，則a，b，r之間的等量關(guān)為：r2（a2+b2）=a2b2 ．
【解析】（Ⅰ）依題意原點(diǎn)O到切線l：y=﹣ x+m的距離為半徑1，m= ，A（0， ），B（ ，0）代入橢圓方程，求出a、b即可（2）由原點(diǎn)O到切線l：y=kx+m的距離為半徑rm2=（1+k2）r2 ． 聯(lián)立直線方程和與橢圓的方程，利用 求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．