已知函數(shù)f(x)=x2-2x+alnx不是單調(diào)函數(shù),且無(wú)最小值.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),證明:f(x0)<0.
分析:(Ⅰ)求導(dǎo),函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),則對(duì)于f'(x)=0,有解.
(Ⅱ)利用條件x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),確定a的數(shù)值,然后證明f(x0)<0.
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是{x|x>0}.…(1分)
對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù),得f′(x)=2x-2+
a
x
=
2x2-2x+a
x
.…(3分)
顯然,方程f'(x)=0?2x2-2x+a=0(x>0).
若f(x)不是單調(diào)函數(shù),且無(wú)最小值,則方程2x2-2x+a=0必有2個(gè)不相等的正根.…(5分)
所以 
△=4-8a>0
a
2
>0
解得0<a<
1
2
.…(7分)
(Ⅱ)設(shè)方程2x2-2x+a=0的2個(gè)不相等的正根是x1,x2,其中x1<x2
所以f′(x)=
2x2-2x+a
x
=
2(x-x1)(x-x2)
x
.…(9分)
列表分析如下:
x (0,x1 x1 (x1,x2 x2 (x2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
所以,x1是極大值點(diǎn),x2是極小值點(diǎn),f(x1)>f(x2).
故只需證明f(x1)<0.…(11分)
由 0<x1<x2,且x1+x2=1,得0<x1
1
2
.…(12分)
因?yàn)?nbsp;0<a<
1
2
,0<x1
1
2
,
所以 f(x1)=x1(x1-2)+alnx1<0.
從而f(x0)<0.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及函數(shù)的極值問(wèn)題.對(duì)于參數(shù)問(wèn)題要注意進(jìn)行分類(lèi)討論.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿(mǎn)足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿(mǎn)足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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