Question

已知各項均為正數的數列{a_n}滿足：a₁=a₃，a₂=1，an+2=

1

1+an

，則a₉+a₁₀=

1+4 5

8

．

Answer 1

分析：先令n=1得a₃=

1

1+a1

，結合條件a₁=a₃，即a₁=

1

1+a1

，解得a₁，再令n=2，利用數列的周期性分別求得a₉和a₁₀，從而得出答案．

解答：解：令n=1得a₃=

1

1+a1

，即a₁=

1

1+a1

即a

2 1

+a₁-1=0，解得a₁=

5 -1

2

．
再令n=2，得a4=

1

1+a2

=

1

1+1

=

1

2

，⇒a6=

1

1+a4

=

2

3

，⇒a8=

1

1+a6

=

3

5

，⇒a10=

1

1+a8

=

5

8

．
同樣地，得a9=

1

1+a7

=…=

4 5 -4

8

．
則a₉+a₁₀=

1+4 5

8

．
故答案為：

1+4 5

8

．

點評：本題主要考查了數列的概念及簡單表示法，遞推式，理解數列的周期性方法是解題的關鍵．