Question

8．△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2sin²$\frac{A+B}{2}$=sinC+1．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{2}$，c=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得cosC=sinC，結(jié)合范圍C∈（0，π），即可求得C的值．
（Ⅱ）由正弦定理可求sinA=1，進(jìn)而可得A=$\frac{π}{2}$，B=C=$\frac{π}{4}$，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（Ⅰ）∵2sin²$\frac{A+B}{2}$=sinC+1，
在△ABC中，A+B+C=π，
∴2cos²$\frac{C}{2}$=sinC+1，可得：cosC=sinC，…（3分）
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{4}$．…（5分）
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理：$\frac{\sqrt{2}}{sinA}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{4}}$，
∴sinA=1，A=$\frac{π}{2}$，B=C=$\frac{π}{4}$，…（8分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．