Question

已知f（x）=ln（ax+b）-x，其中a＞0，b＞0
（1）求f（x）在[0，+∝）上是減函數(shù)的充要條件；
（2）求f（x）在[0，+∝）上的最大值；
（3）解不等式in（1+）-≤ln2-1．

Answer 1

解：（1）f'（x）=
充分性：因?yàn)閤≥0，a＞0，b＞0所以，當(dāng)f'（x）≤0時(shí)，a-b≤0，即a≤b
必要性：當(dāng)a≤b時(shí)，因?yàn)閍＞0，b＞0，x≥0，所以ax+b＞0，a-b-ax≤0，即f'（x）≤0
所以f（x）在[0，+∝）上是減函數(shù)的充要條件是“a≤b”
（2）由（1）知當(dāng)a≤b時(shí)f（x）在[0，+∝）上是減函數(shù)
∴f（x）的最大值為f（0）=lnb
當(dāng)b＜a時(shí)，因?yàn)閒'（x）=
∴當(dāng)0≤x＜時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞時(shí)，f'（x）＜0
即f（x）在[0，]是增函數(shù)，f（x）在[，+∞]是減函數(shù)
則當(dāng)x=時(shí)取得最大值為lna-
綜上，[f（x）max]=
（3）在（1）中取a=b=1，得f（x）=ln（x+1）-x
由（1）知f（x）在[0，+∝）上是減函數(shù)
∵ln（1+）-≤ln2-1即f（）≤f（1）
∴≥1解得≤x＜0或x≥
∴不等式的解集為[，0）∪[，+∞
分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求充分性由x≥0，a＞0，b＞0?當(dāng)f'（x）≤0時(shí)，a-b≤0；然后求必要性：當(dāng)a≤b時(shí)，由a＞0，b＞0，x≥0，?ax+b＞0，a-b-ax≤0，即可求出充要條件；
（2）由（1）能夠得出當(dāng)a≤b時(shí)，（x）的最大值為f（0）=lnb；當(dāng)b＜a時(shí)，f（x）在[0，]是增函數(shù)，f（x）在[，+∞]是減函數(shù)，進(jìn)而求得當(dāng)x=時(shí)取得最大值為lna-，最后在總結(jié)即可；
（3）解不等式ln（1+）-≤ln2-1能夠轉(zhuǎn)化成f（）≤f（1），再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出解題．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及利用導(dǎo)數(shù)求出最值，第（2）要注意分情況求最值，屬于中檔題．