Question

已知拋物線C₁：x²+by=b²經(jīng)過橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點．設Q（3，b），又M，N為C₁與C₂不在y軸上的兩個交點，若△QMN的重心（中線的交點）在拋物線C₁上，
（1）求C₁和C₂的方程．
（2）有哪幾條直線與C₁和C₂都相切？（求出公切線方程）

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立拋物線C₁的方程橢圓C₂的方程，求出M，N的坐標，求出△QMN的重心坐標，代入拋物線C₁，即可求得C₁和C₂的方程；
（2）設直線y=kx+m與C₁和C₂都相切，分別聯(lián)立方程，利用判別式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）因為拋物線C₁經(jīng)過橢圓C₂的兩個焦點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
所以c²+b×0=b²，即c²=b²，由a²=b²+c²=2c²，a²=2b²，
所以橢圓C₂的方程為：

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
聯(lián)立拋物線C₁的方程x²+by=b²得：2y²-by-b²=0，
解得：y=-

b

2

或y=b（舍去），所以x=±

6

2

b
即M（-

6

2

b，-

b

2

），N（

6

2

b，-

b

2

），所以△QMN的重心坐標為（1，0）．
因為重心在C₁上，所以1²+b×0=b²，得b=1．
所以a²=2．
所以拋物線C₁的方程為：x²+y=1，
橢圓C₂的方程為：

x2

2

+y2=1；
（2）因為拋物線C₁：x²+y=1開口向下且關(guān)于y軸對稱，所以與x軸垂直的直線都不是其切線．
所以可設直線y=kx+m與C₁和C₂都相切，
則由

x2+y=1 y=kx+m

⇒x2+kx+m-1=0有相等實根                       
⇒△1=k2-4(m-1)=0⇒k2=4(m-1)
又

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，∴（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0有相等實根
∴△2=2k2-m2+1=0
∴8（m-1）-m²+1=0
∴m=1或m=7
m=1時，k=0，切線方程為y=1
m=7時，k=±2

6

，切線方程為y=2

6

x+7，y=-2

6

x+7
∴有3條直線y=1，y=2

6

x+7，y=-2

6

x+7與C₁和C₂都相切．

點評：本題考查橢圓和拋物線的方程，考查直線與橢圓和拋物線的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．