Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+ax-4（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）恰有一個零點，求a的值；
（2）若對任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，求x的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=（a+1）x²+2ax+2a-5，是否存在實數(shù)a，使得當x∈（-2，-1）時，函數(shù)g（x）的圖象始終在f（x）圖象的上方，若存在，試求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當a=0時，f（x）=-4無零點，舍去 …（1分）
當a≠0時，有△=a²+16a=0解得 a=-16或a=0（舍去） …（3分）
綜合得：a=-16…（4分）
（2）由題意得：因為任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，
令 H（a）=ax²+ax-4=（x²+x）a-4
所以，本題等價于：H（a）≤0在a∈[1，2]上恒成立． …（7分）
又H（0）=-4
所以，H（2）=2（x²+x）-4≤0即 x²+x-2≤0又∵x≠0
解得：-2≤x≤1且x≠0…（10分）
（3）令 F（x）=g（x）-f（x）=x²+ax+2a-1…（12分）
假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，則必有F（x）=x²+ax+2a-1＞0在區(qū)間（-2，-1）上恒成立．
又因為F（x）對稱軸方程 ，所以有：
①…（13分）
解得：所以 a≥4
②…（14分）
解得：所以 0≤a≤2
③
解得：所以 2＜a＜4…（15分）
綜合以上得：a≥0
所以，存在這樣的實數(shù)a，當實數(shù)a≥0時，函數(shù)g（x）的圖象始終在f（x）圖象的上方．…（16分）
備注：解答題其它解題方法酌情給分．
分析：（1）函數(shù)f（x）=ax²+ax-4僅有一個零點，分函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)討論，即a=0和a≠0討論，特別a≠0時，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，△=0即可求得結(jié)果．
（2）由題意得：因為任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，令 H（a）=ax²+ax-4=（x²+x）a-4，本題等價于：H（a）≤0在a∈[1，2]上恒成立，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即得．
（3）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，則必有F（x）=x²+ax+2a-1＞0在區(qū)間（-2，-1）上恒成立，再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出實數(shù)a，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
點評：考查函數(shù)零點與函數(shù)圖象與x軸的交點問題、函數(shù)恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，對函數(shù)的類型討論，體現(xiàn)了分類討論的思想，也是易錯點，屬中檔題．