Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）e^x的定義域為（-2，t）（t＞-2）
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在（-2，t）上為單調(diào)函數(shù)．
（2）求證：對于任意t＞-2，總存在x₀滿足=并確定這樣的x₀個數(shù)．

Answer 1

解：（1）f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x=0，得x=0或x=1
由f′（x）＞0?x＜0，或x＞1；f′（x）＜0?0＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴要使f（x）在（-2，t）上為單調(diào)函數(shù)，則-2＜t≤0．（6分）
（2）∵，
∴，
即為x₀²-x₀=，
令g（x）=x²-x-，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）==0在（-2，t）上有解并討論解的個數(shù)，
因為g（-2）=6-（t-1）²=-，g（t）=t（t-1）-=，
所以當(dāng)t＞4或-2＜t＜1時，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
當(dāng)1＜t＜4時，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，
當(dāng)t=1時，g（x）=x²-x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
當(dāng)t=4時，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
綜上所述，對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足 ，
且當(dāng)t≥4或-2＜t≤1時，有唯一的x₀適合題意，
當(dāng)1＜t＜4時，有兩個x₀適合題意．
分析：（1）由f（x）=（x²-3x+3）•e^x，知f′（x）=（x²-x）e^x，令f′（x）≥0，則x≥1或x≤0，由此能夠確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)．
（2）先將x₀代入f'（x）求出=x²-x₀，然后轉(zhuǎn)化成方程x²-x-（t-1）²=0在（-2，t）上有解的問題，分類討論確定x₀的個數(shù)．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、根的存在性及根的個數(shù)判斷，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．