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16.已知向量\overrightarrow a=(sin\frac{ωx}{2},-sin\frac{ωx}{2}),\overrightarrow b=(cos\frac{ωx}{2},sin\frac{ωx}{2})(ω>0),函數(shù)f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b,x1,x2是函數(shù)f(x)的任意兩個相異零點,且|x1-x2|的最小值為\frac{π}{2}
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)-m在(0,\frac{π}{2})上無零點,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)利用向量乘積的關(guān)系求出f(x),然后將函數(shù)f(x)化簡,令f(x)=0,表示兩個零點的關(guān)系式,利用|x1-x2|的最小值為\frac{π}{2}.即可求ω的值.
(Ⅱ)函數(shù)g(x)=f(x)-m在(0,\frac{π}{2})上無零點,即y=f(x)與y=m的圖象在(0,\frac{π}{2})上無交點,求出f(x)在(0,\frac{π}{2})的最值即可m的范圍.

解答 解:(Ⅰ)由題意:函數(shù)f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b,向量\overrightarrow a=(sin\frac{ωx}{2},-sin\frac{ωx}{2}),\overrightarrow b=(cos\frac{ωx}{2},sin\frac{ωx}{2})(ω>0)
可得:f(x)=sin\frac{ωx}{2}cos\frac{ωx}{2}-{sin^2}\frac{ωx}{2}=\frac{1}{2}sinωx+\frac{1}{2}cosωx-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin(ωx+\frac{π}{4})-\frac{1}{2}
 令f(x)=0
可得:sin(ωx+\frac{π}{4})=\frac{{\sqrt{2}}}{2};
則有:sin(ω{x_1}+\frac{π}{4})=\frac{{\sqrt{2}}}{2},sin(ω{x_2}+\frac{π}{4})=\frac{{\sqrt{2}}}{2};
當|x1-x2|最小時,可取ω{x_1}+\frac{π}{4}=\frac{π}{4},ω{x_2}+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}
{x_1}=0,{x_2}=\frac{π}{2ω},則有:|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{π}{2ω},
因為{|{{x_1}-{x_2}}|_{min}}=\frac{π}{2},即:\frac{π}{2ω}=\frac{π}{2},
解得:ω=1
所以ω的值為:1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin(x+\frac{π}{4})-\frac{1}{2}
 g(x)=f(x)-m在(0,\frac{π}{2})上無零點,即y=f(x)與y=m的圖象在(0,\frac{π}{2})上無交點.
x∈(0,\frac{π}{2})
x+\frac{π}{4}∈(\frac{π}{4},\frac{3π}{4})
故得f(x)=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin(x+\frac{π}{4})-\frac{1}{2}∈(0,\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]
因此:實數(shù)m的取值范圍是(-∞,0]∪(\frac{\sqrt{2}-1}{2},+∞).

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),相鄰之間零點距離的問題的轉(zhuǎn)化.利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵,零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)之間的交點問題.屬于中檔題.

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