【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)m,n,都有f(m)f(n)=f(m+n),且當(dāng)x<0時(shí),0<f(x)<1.
(1)證明:①f(0)=1;②當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1;③f(x)是R上的增函數(shù);
(2)設(shè)a∈R,試解關(guān)于x的不等式f(x2﹣3ax+1)f(﹣3x+6a+1)≤1.
【答案】
(1)證明:①在f(m)f(n)=f(m+n)中,令m=n=0,
得f(0)f(0)=f(0+0)即f(0)=f(0)2,∴f(0)=0或1,
若f(0)=0,則當(dāng)x>0時(shí),有f(x)f(0)=f(x)=0與題設(shè)矛盾,
∴f(0)=1;
②當(dāng)x>0時(shí),﹣x<0,由已知得0<f(﹣x)<1,
又f(0)=f[x+(﹣x)]=f(x)f(﹣x)=1,0<f(﹣x)<1,∴ ,
即x>0時(shí),f(x)>1;
③任取x1<x2,由①②及已知條件知x∈R時(shí),f(x)>0,
則 ,∵x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>1,又因?yàn)閒(x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴y=f(x)在定義域R上為增函數(shù)
(2)解:f(x2﹣3ax+1)f(﹣3x+6a+1)=f(x2﹣3ax+1﹣3x+6a+1)=f[x2﹣3(a+1)x+2(3a+1)],
又f(0)=1,f(x)在R上單調(diào)遞增,
∴原不等式等價(jià)于x2﹣3(a+1)x+2(3a+1)≤0,
不等式可化為(x﹣2)[x﹣(3a+1)]≤0,
∴當(dāng)2<3a+1,即 時(shí),2≤x≤3a+1;
當(dāng)2=3a+1,即 時(shí),x=2;
當(dāng)2>3a+1,即 時(shí),3a+1≤x≤2
【解析】(1)①利用賦值法,轉(zhuǎn)化求解即可.②判斷函數(shù)的范圍,通過f(0)=f[x+(﹣x)]轉(zhuǎn)化求解證明即可.③利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可.(2)利用已知條件化簡(jiǎn)表達(dá)式,利用函數(shù)的單調(diào)性,推出不等式,然后求解不等式的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,其中a∈R,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線垂直于直線
(1)求實(shí)數(shù)a的值
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是邊長(zhǎng)為4的正方形,動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的圓弧上,則的取值范圍是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), ,其中.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;
(2)若對(duì)任意,均有,求的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),設(shè),若的最小值為,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣2tx在區(qū)間[﹣1,5]上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=x+m有區(qū)間(﹣1,2)上有唯一實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍(注:相等的實(shí)數(shù)根算一個(gè)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA⊥平面ABCD,E、F分別是AB,PC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求證:EF⊥CD;
(3)若∠PDA=45°,求EF與平面ABCD所成的角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù), ().
(Ⅰ)若,設(shè),試證明存在唯一零點(diǎn),并求的最大值;
(Ⅱ)若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)下列條件,分別求直線方程:
(1)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)且與直線2x+y﹣5=0垂直;
(2)求經(jīng)過直線x﹣y﹣1=0與2x+y﹣2=0的交點(diǎn),且平行于直線x+2y﹣3=0的直線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生500人,其中男生300人,女生200人,為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是否與性別有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生,先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù),然后按性別分為男、女兩組,再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
附:K2= .
(1)從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求兩人恰好為一男一女的概率;
(2)若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”,請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”?
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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