Question

2．設(shè)函數(shù)f_n（x）=-xⁿ+3ax+b（n∈N^*，a，b∈R），若|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值為$\frac{1}{2}$，則a+b=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意知|f₄（0）|=|b|≤$\frac{1}{2}$，|f₄（-1）|=|-1-3a+b|≤$\frac{1}{2}$，|f₄（1）|=|-1+3a+b|≤$\frac{1}{2}$，從而解得．

解答 解：由題意知，f₄（x）=-x⁴+3ax+b，
∵|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值為$\frac{1}{2}$，
∴|f₄（0）|=|b|≤$\frac{1}{2}$，
|f₄（-1）|=|-1-3a+b|≤$\frac{1}{2}$，
|f₄（1）|=|-1+3a+b|≤$\frac{1}{2}$，
討論可知|-1-3a+b|與|-1+3a+b|中至少有一個(gè)為|3a|+|b-1|，
故|3a|+|b-1|≤$\frac{1}{2}$，
故a=0，b=$\frac{1}{2}$；
故a+b=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及絕對(duì)值不等式的解法，屬于中檔題．