Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{S_n}的前n項和T_n；
（3）設，數(shù)列{b_n}的前n項和為B_n，若存在整數(shù)m，使對任意n∈N*且n≥2，都有成立，求m的最大值．

Answer 1

解：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，
即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是，
所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．…（2分）
（2）因為S₁=2a₁-2²，
所以a₁=4．
所以，
故a_n=（n+1）•2ⁿ．…（3分）
所以S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹=2（n+1）2ⁿ-2ⁿ⁺¹=n•2ⁿ⁺¹…（4分）
所以T_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹…①
2T_n=1×2³+2×2⁴+3×2⁵+…+n•2ⁿ⁺²…②…（6分）
由①-②得：…（7分）
所以T_n=2²（1-2ⁿ）+n•2ⁿ⁺²=（n-1）•2ⁿ⁺²+4…（8分）
（2）因為=，
則．…（10分）
令，
則．
所以=．
即f（n+1）＞f（n），
所以數(shù)列{f（n）}為遞增數(shù)列．…（12分）
所以當n≥2時，f（n）的最小值為．
據(jù)題意，，即．又m為整數(shù)，
故m的最大值為11．…（14分）
分析：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．所以a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．由此能夠證明數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）因為S₁=2a₁-2²，所以a₁=4.，故a_n=（n+1）•2ⁿ，S_n=n•2ⁿ⁺¹，所以T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，由錯位相減法能求出數(shù)列{S_n}的前n項和T_n．
（2）因為=，則．令，能導出f（n+1）＞f（n），由此能求出m的最大值．
點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結(jié)合含兩個變量的不等式的處理問題，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查實數(shù)m的最大值的求法．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．