Question

10．已知向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，且|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=2，
（1）求$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$；
（2）求|3$\overrightarrow a$+5$\overrightarrow b$|；
（3）若向量$\overrightarrow a$+k$\overrightarrow b$與5$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$垂直，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式計算即可，
（2）根據(jù)向量的模的計算方法計算即可，
（3）根據(jù)向量垂直得到數(shù)量積為0，即可到關(guān)于k的方程，解得即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，且|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=2，
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=|$\overrightarrow a$|•|$\overrightarrow b$|•cos120°=4×2×（-$\frac{1}{2}$）=-4，
（2）|3$\overrightarrow a$+5$\overrightarrow b$|²=9|$\overrightarrow a$|²+25|$\overrightarrow b$|²+30•$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=9×16+25×4-30×4=124，
∴|3$\overrightarrow a$+5$\overrightarrow b$|=2$\sqrt{31}$，
（3）∵向量$\overrightarrow a$+k$\overrightarrow b$與5$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$垂直，
∴（$\overrightarrow a$+k$\overrightarrow b$）•（5$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）=0，
∴5|$\overrightarrow a$|²+2k|$\overrightarrow b$|²+（5k+2）•$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
∴5×16+8k-4（5k+2）=0，
解得k=6．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積的運算，模的計算和向量的垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．