在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2=2x相交于P、Q兩點(diǎn)，如果
OP
•
OQ
=3，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：直線l過(guò)定點(diǎn)．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：設(shè)出直線的方程，同拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于3，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答： 證：由題意，直線的斜率不為0，所以設(shè)l：ky=x+b，代入拋物線y2=2x，消去x得y2-2ky+2b=0，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）
則y1+y2=2k，y1y2=2b，
∵
OP
•
OQ
=3，
∴x1x2+y1y2=3，即（k2+1）y1y2-kb（y1+y2）+b2=3
代入得2（k2+1）b-2k2b+b2=3，解得b=-3或者b=1，
∴直線方程為ky=x-3或者ky=x+1，
故直線l過(guò)定點(diǎn)（3，0）或者（-1，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及直線與拋物線的位置關(guān)系．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：
an+1
an
=
n
n+1
，且a1=1，則
a7
a3
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=20x的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于
5
3
，則該雙曲線的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)（x，y）在映射f下所對(duì)應(yīng)的元素是（x，x+y），若點(diǎn)（a，b）是點(diǎn)（1，3）在映射f下所對(duì)應(yīng)的元素，則a+b等于（　�。�
A、1B、3C、5D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某學(xué)校一個(gè)生物興趣小組對(duì)學(xué)校的人工湖中養(yǎng)殖的某種魚(yú)類進(jìn)行觀測(cè)研究，在飼料充足的前提下，興趣小組對(duì)飼養(yǎng)時(shí)間x（單位：月）與這種魚(yú)類的平均體重y（單位：千克）得到一組觀測(cè)值，如下表：
xi（月）12345
yi（千克）0.50.91.72.12.8
（1）在給出的坐標(biāo)系中，畫(huà)出關(guān)于x，y兩個(gè)相關(guān)變量的散點(diǎn)圖．
（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出變量y關(guān)于變量x的線性回歸直線方程
?
y
=
b
x+
?
a
．
（3）預(yù)測(cè)飼養(yǎng)滿12個(gè)月時(shí)，這種魚(yú)的平均體重（單位：千克）
（參考公式：
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n(
.
x
)2
，
?
a
=
.
y
-
b
.
x
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=asinxcosx+
1
2
cos2x（a＞0）的最大值為1
（1）求a的值和函數(shù)周期；
（2）若f（
a
2
）=
4
5
（α∈（0，
π
3
）），求cosα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O（0，0），A（1，3），B（4，0）．直線l過(guò)點(diǎn)P（3，6），且被圓C截得弦長(zhǎng)為4，則直線l的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

求下列函數(shù)的定義域、值域：
（1）y=
2-x2-1-
1
4
；
（2）y=log2（x2+2x+5）；
（3）y=log 
1
3
（-x2+4x+5）；
（4）y=
loga(-x2-x)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

廊坊市某所中學(xué)有一塊矩形空地，學(xué)校要在這塊空地上修建一個(gè)內(nèi)接四邊形的花壇（如圖所示），該花壇的四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上，已知 A B=a（a＞2），BC=2，且 A E=A H=CF=CG，設(shè) A E=x，花壇面積為y．
（1）寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng) A E為何值時(shí)，花壇面積y最大？

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