Question

4．已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．
（1）用a表示b；
（2）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥g（x）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出兩曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，把設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩導(dǎo)函數(shù)中得到兩關(guān)系式，聯(lián)立兩關(guān)系式即可解出公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把求出的橫坐標(biāo)代入得到用a表示出b的式子；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），求出F（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到F（x）的單調(diào)區(qū)間，由x大于0和函數(shù)的增減性得到F（x）的最小值為0，即f（x）-g（x）大于等于0，證得當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥g（x）．

解答 解：（1）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線相同．
∵f′（x）=x+2a，g′（x）=$\frac{3{a}^{2}}{x}$，
由題意得：f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）．
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3{a}^{2}ln{x}_{0}+b}\\{{x}_{0}+2a=\frac{3{a}^{2}}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，由${x}_{0}+2a=\frac{3{a}^{2}}{{x}_{0}}$，得：x₀=a，或x₀=-3a（舍去）．
即有b=$\frac{1}{2}{a}^{2}+2{a}^{2}-3{a}^{2}lna=\frac{5}{2}{a}^{2}-3{a}^{2}lna$；
（2）設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+2ax-3{a}^{2}lnx-b$（x＞0），
則F′（x）=x+2a-$\frac{3{a}^{2}}{x}$=$\frac{（x-a）（x+3a）}{x}$（x＞0）．
故F（x）在（0，a）為減函數(shù)，在（a，+∞）為增函數(shù)，
于是函數(shù)F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=f（a）-g（a）=$\frac{1}{2}$a²+2a²-3a²lna+$\frac{2}{5}$a²-3a²lna=0，
故當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）-g（x）≥0，即當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是中檔題．