分析 (1)設出兩曲線的公共點坐標,分別求出f(x)和g(x)的導函數(shù),把設出點的坐標代入兩導函數(shù)中得到兩關(guān)系式,聯(lián)立兩關(guān)系式即可解出公共點的橫坐標,把求出的橫坐標代入得到用a表示出b的式子;
(2)設F(x)=f(x)-g(x),求出F(x)的導函數(shù),根據(jù)導函數(shù)的正負得到F(x)的單調(diào)區(qū)間,由x大于0和函數(shù)的增減性得到F(x)的最小值為0,即f(x)-g(x)大于等于0,證得當x>0時,f(x)≥g(x).
解答 解:(1)設y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點(x0,y0)處的切線相同.
∵f′(x)=x+2a,g′(x)=$\frac{3{a}^{2}}{x}$,
由題意得:f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0).
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3{a}^{2}ln{x}_{0}+b}\\{{x}_{0}+2a=\frac{3{a}^{2}}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$,由${x}_{0}+2a=\frac{3{a}^{2}}{{x}_{0}}$,得:x0=a,或x0=-3a(舍去).
即有b=$\frac{1}{2}{a}^{2}+2{a}^{2}-3{a}^{2}lna=\frac{5}{2}{a}^{2}-3{a}^{2}lna$;
(2)設F(x)=f(x)-g(x)=$\frac{1}{2}{x}^{2}+2ax-3{a}^{2}lnx-b$(x>0),
則F′(x)=x+2a-$\frac{3{a}^{2}}{x}$=$\frac{(x-a)(x+3a)}{x}$(x>0).
故F(x)在(0,a)為減函數(shù),在(a,+∞)為增函數(shù),
于是函數(shù)F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=f(a)-g(a)=$\frac{1}{2}$a2+2a2-3a2lna+$\frac{2}{5}$a2-3a2lna=0,
故當x>0時,有f(x)-g(x)≥0,即當x>0時,f(x)≥g(x).
點評 本題考查利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率,會利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值,是中檔題.
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A. | 2+$\sqrt{5}$ | B. | $\sqrt{5}$ | C. | 2 | D. | 2-$\sqrt{5}$ |
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A. | -4 | B. | -1 | C. | 1 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | -$\frac{3}{2}$<a≤-1 | B. | a≤-$\frac{3}{2}$ | C. | a≤-1 | D. | a>-$\frac{3}{2}$ |
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