Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+cos2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)x的取值集合；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，試求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦函數(shù)以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)正弦函數(shù)的最值求函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)x的取值集合；
（Ⅱ）通過(guò)左加右減的原則，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，求出函數(shù)的解析式，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)…（2分）
=2sin(2x+

π

6

)…（3分）
∴當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

時(shí)，f_max（x）=2…（5分）
當(dāng)f（x）取最大值時(shí)，x∈{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}…（6分）
（Ⅱ）依題意g(x)=2sin[2(x+

π

12

)+

π

6

]=2sin(2x+

π

3

)．…（9分）
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，…（10分）
∴kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

…（11分）
故g（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，二倍角公式的應(yīng)用，考查基本知識(shí)的應(yīng)用．