Question

9．已知x、y∈[0，+∞）且滿足x³+y³+3xy=1．則x²y的最大值為$\root{6}{\frac{27}{{2}^{7}}}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用拆項(xiàng)組合，得出$\frac{{x}^{3}}{3}$$+\frac{{x}^{3}}{3}$$+\frac{{x}^{3}}{3}$+y³+xy+xy+xy=1，運(yùn)用基本不等式求解即可．

解答 解：∵x、y∈[0，+∞）且滿足x³+y³+3xy=1，
∴$\frac{{x}^{3}}{3}$$+\frac{{x}^{3}}{3}$$+\frac{{x}^{3}}{3}$+y³+xy+xy+xy=1，
∵$\frac{{x}^{3}}{3}$$+\frac{{x}^{3}}{3}$$+\frac{{x}^{3}}{3}$+y³+xy+xy+xy≥7$\root{7}{\frac{{x}^{12}{y}^{6}}{27}}$，（y²=x=$\sqrt{3}$等號(hào)成立）
∴1≥7$\root{7}{\frac{{x}^{12}{y}^{6}}{27}}$，
即x²y≤$\root{6}{\frac{27}{{2}^{7}}}$，（y²=x=$\sqrt{3}$等號(hào)成立）
故答案為：$\root{6}{\frac{27}{{2}^{7}}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等時(shí)代運(yùn)用，關(guān)鍵構(gòu)造得出運(yùn)用的條件，拆項(xiàng)組合，判斷求解．