Question

1．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，na${\;}_{n+1}^{2}$-a_na_n+1=（n+1）a${\;}_{n}^{2}$，則a_n=（　　）

• A． n
• B． 2n
• C． n+2
• D． 2n+2

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式變形，求得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}$，然后利用累積法得答案．

解答 解：由na${\;}_{n+1}^{2}$-a_na_n+1=（n+1）a${\;}_{n}^{2}$，得$n•（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}）^{2}-\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n+1$，
∴$（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}+1）（n\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}-n-1）=0$，
∵a_n＞0，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}$．
∴${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=$\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}•…•\frac{2}{1}•1$=n．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．