【題目】設(shè)數(shù)列{an}是公差大于0的等差數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S3=9,且2a1 , a3﹣1,a4+1構(gòu)成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足 =2n﹣1(n∈N*),設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,證明:Tn<6.
【答案】
(1)解:∵公差不為零的等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和S3=9,得到a2=3,
且2a1,a3﹣1,a4+1構(gòu)成等比數(shù)列,
∴得到未知數(shù)a2與d的方程組: ,
由d≠0,解得a1=1,d=2,
∴an=2n﹣1.
(2)證明:∵數(shù)列{bn}滿(mǎn)足 =2n﹣1(n∈N*),
∴ ,∴bn=(2n﹣1)21﹣n=(4n﹣2)
設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,
則Tn=2 +6 +10 +14 +…+(4n﹣2) ,①
=2 +6 …+(4n﹣2) ,②
①﹣②,得: Tn=1+1+ ﹣
=1+ ﹣(4n﹣2) =3﹣ ,
∴Tn=6﹣ <6.
∴Tn<6.
【解析】(1)利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式和等比數(shù)列,列出方程組,求出首項(xiàng)與公差,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)推導(dǎo)出bn=(2n﹣1)21﹣n=(4n﹣2) 利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,由此能證明Tn<6.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式,需要了解數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案.
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【題目】已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值為10.
(1)求a+b+c的值;
(2)求 (a﹣1)2+(b﹣2)2+(c﹣3)2的最小值,并求出此時(shí)a、b、c的值.
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【題目】如圖,一個(gè)圓心角為直角的扇形AOB 花草房,半徑為1,點(diǎn)P 是花草房弧上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),不含端點(diǎn),現(xiàn)打算在扇形BOP 內(nèi)種花,PQ⊥OA,垂足為Q,PQ 將扇形AOP 分成左右兩部分,在PQ 左側(cè)部分三角形POQ 為觀賞區(qū),在PQ 右側(cè)部分種草,已知種花的單位面積的造價(jià)為3a,種草的單位面積的造價(jià)為2a,其中a 為正常數(shù),設(shè)∠AOP=θ,種花的造價(jià)與種草的造價(jià)的和稱(chēng)為總造價(jià),不計(jì)觀賞區(qū)的造價(jià),設(shè)總造價(jià)為f(θ)
(1)求f(θ)關(guān)于θ 的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求當(dāng)θ 為何值時(shí),總造價(jià)最小,并求出最小值.
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【題目】如圖,已知AB是半徑為2的半球O的直徑,P,D為球面上的兩點(diǎn)且∠DAB=∠PAB=60°, .
(1)求證:平面PAB⊥平面DAB;
(2)求二面角B﹣AP﹣D的余弦值.
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【題目】下列選項(xiàng)中,錯(cuò)誤的是( )
A.若p為真,則¬(¬p)也為真
B.若“p∧q為真”,則“p∨q為真”為真命題
C.x∈R,使得tanx=2017
D.“2x> ”是“l(fā)og x<0”的充分不必要條件
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【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρsinθ+2=0.
(Ⅰ)把圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)將直線l向右平移h個(gè)單位,所得直線l′與圓C相切,求h.
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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心,且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng),設(shè) (α,β∈R),則α+β的取值范圍是 .
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【題目】在△ABC中,設(shè)邊a,b,c所對(duì)的角分別為A,B,C,且a>c.已知△ABC的面積為 , ,b=3.
(Ⅰ)求a,c的值;
(Ⅱ)求sin(B﹣C)的值.
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(Ⅰ)求證:f(x)≥8恒成立;
(Ⅱ)求使得不等式f(1)>10成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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