Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），當-1＜x≤0時f（x）=e^-x；當0＜x≤1時，f（x）=4x²-4x+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）-kx（k＞0），求函數(shù)g（x）在[0，3]上的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）問中分別討論x∈（-1，0]和x∈（0，1]的函數(shù)的單調(diào)性，綜合得出；
（Ⅱ）中令g（x）=0，求函數(shù)g（x）的零點問題轉化為求兩個函數(shù)的交點問題，討論k的范圍從而得出答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵-1＜x≤0時，函數(shù)f（x）=e^-x是單調(diào)遞減的，
0＜x≤1時，函數(shù)f（x）=4x²-4x+1的圖象的對稱軸是x=

1

2

，開口向上．
∴在（0，

1

2

）遞減，在[

1

2

，1）遞增．
又∵當f（0）=e^-0=1=4×0²-4×0+1．
綜上可得：
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，

1

2

]，遞增區(qū)間為[

1

2

，1]．
（Ⅱ）∵f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是以2為周期的函數(shù)，
令g（x）=0，
∴f（x）=kx，
令h（x）=kx，
畫出f（x），h（x）的圖象，
如圖示：
，
結合圖象：
①k≥e時，g（x）有1個零點，
②1＜k＜e時，g（x）有2個零點，
③

1

3

＜k≤1時，g（x）有3個零點，
④0＜k≤

1

3

時，g（x）有4個零點．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點問題，滲透了轉化思想，數(shù)形結合思想，分類討論思想，是一道中檔題．