Question

8．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁D上的一點(diǎn)，且滿足A₁P=2PD，下列命題正確的是（　�。�

• A． 在CD₁上存在點(diǎn)Q，使得PQ∥平面AA₁C₁C
• B． 在CD₁上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥平面AA₁C₁C
• C． 在CD₁上存在點(diǎn)Q，使得PQ∥平面A₁BC₁
• D． 在CD₁上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥平面A₁BC₁

Answer 1

分析 過(guò)P作PM⊥AD于M，過(guò)Q作QN⊥CD于N，連結(jié)MN，則當(dāng)MN∥AC時(shí)，平面PMNQ∥平面AA₁C₁C，故PQ∥平面平面AA₁C₁C．

解答 解：當(dāng)D₁Q=$\frac{1}{3}$D₁C時(shí)，過(guò)P作PM⊥AD于M，過(guò)Q作QN⊥CD于N連結(jié)MN，
則$\frac{DM}{DA}=\frac{PD}{D{A}_{1}}=\frac{1}{3}$，$\frac{CN}{CD}=\frac{CQ}{C{D}_{1}}=\frac{2}{3}$，∴$\frac{DN}{DC}=\frac{1}{3}$．
∴$\frac{DM}{DA}=\frac{DN}{DC}$，
∴MN∥AC，又PM∥A₁A，PM?平面PMNQ，MN?平面PMNQ，AA₁?平面AA₁C₁C，AC?平面AA₁C₁C，PM∩MN=M，A₁A∩AC=A，
∴平面PMNQ∥平面AA₁C₁C，
∵PQ?平面PMNQ，
∴PQ∥平面平面AA₁C₁C
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面位置關(guān)系的判斷，構(gòu)造平行線或平行平面是判斷的關(guān)鍵．