Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)?x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=，
令f′（x）=0得x=±k…．（3分）
當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）在（-∞，-k）和（k，+∞）上遞增，在（-k，k）上遞減；
當(dāng)k＜0時(shí)，f（x）在（-∞，k）和（-k，+∞）上遞減，在（k，-k）上遞增…（8分）
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，f（k+1）=＞，所以不可能對(duì)?x∈（0，+∞），都有f（x）≤；
當(dāng)k＜0時(shí)，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（-k）=，所以對(duì)?x∈（0，+∞），都有f（x）≤
即，∴，
故對(duì)?x∈（0，+∞），都有f（x）≤時(shí)，k的取值范圍為[-，0）．…．（14分）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)?x∈（0，+∞），都有f（x）≤，等價(jià)于對(duì)?x∈（0，+∞），都有f（x）_max≤，由此可求k的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．