Question

已知函數f（x）=ln（x²+1），g（x）=

1

x2-1

+a．
（Ⅰ）求g（x）在P（

2

，g（

2

））處的切線方程l；
（Ⅱ）若f（x）的一個極值點到直線l的距離為1，求a的值；
（Ⅲ）求方程f（x）=g（x）的根的個數．

Answer 1

分析：（I）根據曲線的解析式求出導函數，把P的橫坐標代入導函數中即可求出切線的斜率，根據P的坐標和求出的斜率寫出切線的方程即可；
（II）先求出導函數，找到導數為0的根，再利用點到直線的距離公式列出關于a的方程即可得出結論．
（III）設函數h（x）=f（x）-g（x），這個函數有幾個零點就說明有幾個根．然后利用導數研究函數單調性，并求出函數的最值，討論最值的取值范圍確定函數零點的個數即可求根的個數．

解答：解：（Ⅰ）∵g′（x）=

-2x

(x 2-1) 2

∴g′（

2

）=-2

2

且g（

2

）=1+a
故g（x）在點P（

2

，g（

2

）））處的切線方程為2

2

x+y-5-a=0 …（5分）
（Ⅱ）由f′x）=

2x

1+x 2

得x=0，故f（x）僅有一個極小值點M（0，0），
根據題意得：d=

|5+a|

3

∴a=-2或 a=-8   …（10分）
（Ⅲ）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）-

1

x 2-1

-ah′（x）=

2x

1+x 2

+

2x

(x 2-1) 2

x∈[0，1）∪（1，+∞）時h′（x）＞0  x∈（-∞，-1）∪（-1，0）時，h′（x）＜0
因此h（x）（-∞，-1），（-1，0）時h（x）單調遞減，[0，1），（1，+∞）時h（x）單調遞增．h（x）為偶函數，
x∈（-1，1）時h（x）極小值h（0）=1-a
f（x）=g（x）的根的情況為：
1-a＞0時，a＜1時，原方程有2個根；
1-a=0時，a=1時，原方程有3個根；
1-a＜0時，a＞1時，原方程有4個根．…（15分）

點評：此題考查學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程，本題考查利用導函數來研究函數的極值．在利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值．此題考查學生利用導數研究函數單調性的能力，培養(yǎng)學生分類討論的數學思想．