已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一條準(zhǔn)線為x=-4,且與拋物線y2=8x有相同的焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是該橢圓的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),過點(diǎn)P的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn),且線段MN的中點(diǎn)恰好落在由該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)、兩個(gè)短軸頂點(diǎn)所圍成的四邊形區(qū)域內(nèi)(包括邊界),求此時(shí)直線l斜率的取值范圍.
分析:(Ⅰ)依題意,得
a2
c
=4
,且c=2,可求得a,b,從而求得橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l的方程為y=k(x+4).將其代入代入橢圓得到關(guān)于x的二次方程,其根的判別式大于0得k的取值范圍,再依據(jù)線段MN的中點(diǎn)恰好落在由該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)、兩個(gè)短軸頂點(diǎn)所圍成的四邊形區(qū)域內(nèi)(包括邊界),得到不等關(guān)系求得k的范圍,最后求出它們的交集即可.
解答:解:(Ⅰ)依題意,得
a2
c
=4
,且c=2,
可求得a=2
2
,b=2,
易知橢圓的方程為
x2
8
+
y2
4
=1
;
(Ⅱ)橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-4,點(diǎn)P的坐標(biāo)(-4,0),
顯然直線l的斜率k存在,所以直線l的方程為y=k(x+4).
設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)線段MN的中點(diǎn)為E(x0,y0),
將y=k(x+4)代入橢圓,得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0.①
由△=(16k22-4(1+2k2)(32k2-8)>0解得k2
1
2
.②
x1+x2=-
16k2
1+2k2

于是x0=
x1+x2
2
=-
8k2
1+2k2
,y0=k(x0+4)=
4k
1+2k2

因?yàn)?span id="88s9ul6" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x0=-
8k2
1+2k2
≤0,所以點(diǎn)E不可能在y軸的右邊,
又直線F1B2、F1B1,方程分別為y=x+2,y=-(x+2),
則必有
y0x0+2
y0≥-x0-2
,
4k
1+2k2
≤-
8k2
1+2k2
+2
4k
1+2k2
8k2
1+2k2
-2
,
亦即
2k2+2k-1≤0
2k2-2k-1≤0

解得-
3
-1
2
≤k≤
3
-1
2
,此時(shí)②也成立.
點(diǎn)評(píng):直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關(guān)系的判定,弦長問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等   突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點(diǎn),求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N(均不是長軸的頂點(diǎn)),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)是長軸的一個(gè)四等分點(diǎn),點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn),記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,直線l⊥x軸時(shí),求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)m=-1時(shí),求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),若N為AB的中點(diǎn),D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn),若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案