Question

如圖，已知⊙O的半徑為1，點C在直徑AB的延長線上，BC=1，點P是半圓上的一個動點，以PC為邊作正三角形PCD，且點D與圓心分別在PC兩側(cè)．
（1）若∠POB=θ，試將四邊形OPDC的面積y表示成θ的函數(shù)；
（2）求四邊形OPDC面積的最大值？

Answer 1

分析：（1）先利用余弦定理求出PC的值，再將四邊形OPDC的面積分解成兩個三角形的面積的和，從而得到y(tǒng)關(guān)于θ的函數(shù)；
（2）由（1）知y=2sin(θ-

π

3

)+

5 3

4

，利用三角函數(shù)的值域可求最值．

解答：

解：(1)在△OPC中，由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP•OC•cosθ        =1+4-4cosθ=5-4cosθ. y=S△OPC+S△PDC   = 1 2 •OP•OC•sinθ+ 3 4 PC2   =sinθ- 3 cosθ+ 5 3 4 (0＜θ＜π)…7分

(2)y=sinθ- 3 cosθ+ 5 3 4  =2sin(θ- π 3 )+ 5 3 4

，
∴當(dāng)θ=

5π

6

時，y max=2+

5 3

4

點評：本題將三角函數(shù)與解三角形結(jié)合起來，關(guān)鍵是利用余弦定理求邊，再求面積，三角函數(shù)求最值應(yīng)注意角的范圍．