Question

如圖所示，已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線l與拋物線C₂分別相交于A、B兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線C₂的標準方程；
（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓過原點；
（Ⅲ）若坐標原點O關于直線l的對稱點P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁有公共點，求橢圓C₁的長軸長的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設拋物線C₂的標準方程為y²=2px，（p＞0），由焦點F（1，0），能求出拋物線C₂的標準方程．
（2）設AB：x=ny+4，聯(lián)立y²=4x，得y²-4ny-16=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理推導出

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，由此能證明以AB為直徑的圓過原點．
（3）設P（4t²，4t），則OP的中點（2t²，2t）在直線l上，由

2t2=4+2nt 4t 4t2 =-n

，求出直線l：x=y+4，由此能求出長軸長最小值．

解答： （1）解：設拋物線C₂的標準方程為y²=2px，（p＞0），
由焦點F（1，0），得p=2，
∴拋物線C₂的標準方程為y²=4x．…（3分）
（2）證明：∵過點M（4，0）的直線l與拋物線C₂分別相交于A、B兩點，
∴設AB：x=ny+4，聯(lián)立y²=4x，
得y²-4ny-16=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=-16，
∴x₁x₂=

y12y22

16

=16，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴以AB為直徑的圓過原點．…（8分）
（3）解：設P（4t²，4t），則OP的中點（2t²，2t）在直線l上，
∴

2t2=4+2nt 4t 4t2 =-n

，解得n=±1，∵t＜0，
∴n=1，直線l：x=y+4．…（10分）
設橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，與直線l：x=y+4聯(lián)立可得：
（2a²-1）y²+8（a²-1）y-a⁴+17a²-16=0，
∵△=[8（a²-1）]²-4（2a²-1）（17a²-16）≥0，
∴a≥

34

2

，∴長軸長最小值為

34

．…（13分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查以AB為直徑的圓為原點的證明，考查橢圓長軸長最小值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．