Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)命題p：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{m}$+$\frac{{y}^{2}}{8-m}$=1的焦點在x軸上；命題q：直線l：x-y+m=0與圓O：x²+y²=9有公共點． 若命題p、命題q中有且只有一個為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 求出命題p，q為真時，m的范圍，結(jié)合命題p、命題q中有且只有一個為真命題，分類討論，綜合后可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：命題p為真：由題意得，m＞8-m＞0，解得4＜m＜8．…3分
命題q為真：x-y+m=0與圓O：x²+y²=9有公共點
則圓心O到直線l的距離：d=$\frac{\left|m\right|}{\sqrt{2}}$≤3，
   解得：-3$\sqrt{2}$≤m≤3$\sqrt{2}$．…7分
因為命題p、命題q中有且只有一個為真命題
若p真q假，則：$\left\{\begin{array}{l}4＜m＜8\\ m＜-3\sqrt{2}，或m＞3\sqrt{2}\end{array}\right.$      解得：3$\sqrt{2}$＜m＜8．…10分
若p假q真，則：$\left\{\begin{array}{l}m≤4，或m≥8\\-3\sqrt{2}≤m≤3\sqrt{2}\end{array}\right.$      解得：-3$\sqrt{2}$≤m≤4    …13分
綜上：實數(shù)m的取值范圍是3$\sqrt{2}$＜m＜8或-3$\sqrt{2}$≤m≤4．          …14分．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了橢圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，復(fù)合命題，難度中檔．