Question

8．（1）在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$，求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=a_n+2ⁿ，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由“裂項”求得a_n+1-a_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用累加法，即可求得a_n=$\frac{2n-1}{n}$，驗證當(dāng)n=1時，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由a_n+1-a_n=2ⁿ，采用累加法，根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：（1）由題意可知：
當(dāng)a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
a₂-a₁=1-$\frac{1}{2}$，
a₃-a₂=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
a₄-a₃=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
…
a_n-a_n-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴a_n-a₁=1-$\frac{1}{n}$，
∴a_n=2-$\frac{1}{n}$，
=$\frac{2n-1}{n}$，
當(dāng)n=1時成立，
∴a_n=$\frac{2n-1}{n}$，
（2）由a_n+1-a_n=2ⁿ，
a₂-a₁=2，
a₃-a₂=4，
a₄-a₃=8，
…
a_n-a_n-1=2^n-1，
累加得：a_n-a₁=2+4+8+…+2^n-1=$\frac{2-{2}^{n}}{1-2}$，
a_n=2ⁿ-1，
當(dāng)n=1時成立，
∴a_n=2ⁿ-1，

點評 本題考查求數(shù)列的通項公式，利用“裂項法”，“累加法”求得數(shù)列的通項公式，考查等比數(shù)列前n項和公式，屬于中檔題．