Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點，
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求二面角B₁-DC-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐C₁-B₁CD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接C₁B，設CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，由四棱柱側(cè)面為平行四邊形知E是BC₁的中點，由此能夠證明AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）過B作BF⊥CD，垂足為F，連接B₁F，則∠B₁FB為二面角B₁-DC-B的平面角，由此可得結(jié)論；
（Ⅲ）三棱錐C₁-B₁CD的體積等于三棱錐D-C₁B₁C的體積，由此可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：連接C₁B，設CB₁與C₁B的交點為E，
連接DE，由四棱柱側(cè)面為平行四邊形知E是BC₁的中點，
∵D是AB的中點，∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）解：過B作BF⊥CD，垂足為F，連接B₁F，則∠B₁FB為二面角B₁-DC-B的平面角
∵AC=3，BC=4，AB=5，點D是AB的中點，∴由等面積可得

1

2

×

1

2

×3×4=

1

2

×

5

2

×BE
∴BF=

12

5

∵AA₁=4，∴B₁F=

4 34

25

∴二面角B₁-DC-B的平面角的余弦值為

BF

B1F

=

15 34

34

；
（Ⅲ）解：三棱錐C₁-B₁CD的體積等于三棱錐D-C₁B₁C的體積，即

1

3

S△C1B1C•

3

2

=

1

3

×

1

2

×4×4×

3

2

=4．

點評：本題考查直線與平面的垂直的判定，二面角的求法，考查三棱錐體積的計算，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．