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11.若正項數(shù)列{an}滿足:an+1an=an+1-an(a∈N*),則稱此數(shù)列為“比差等數(shù)列”.
(1)請寫出一個“比差等數(shù)列”的前3項的值;
(2)設(shè)數(shù)列{an}是一個“比差等數(shù)列”
(i)求證:a2≥4;
(ii)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求證:對于任意n∈N*,都有Snn2+5n42

分析 (1)根據(jù)“比差等數(shù)列”的定義,寫出一個“比差等數(shù)列”的前3項即可;
(2)(i)當n=1時可得a2a1=a2a1,求出a2利用分離常數(shù)法化簡,由an>0可得a1>1,利用基本不等式證明a2≥4;
(ii)由an>0得an+1-an=an+1an≥0,得an+1≥an>0從而得到an+1-an=an+1an1,列出n-1個不等式并相加得an≥n+2(n≥2),當n≥2時利用放縮法和等差數(shù)列的前n項和公式化簡后,得到Sn的不等式再驗證n=1時是否成立即可.

解答 (1)解:一個“比差等數(shù)列”的前3項可以是:2,4,163;
(2)(i)證明:當n=1時,a2a1=a2a1,
a2=a111a1=a12a11=a121+1a11=a11+1a11+2,
∵an>0,∴a2=a12a110,則a1-1>0,即a1>1,
a2=a11+1a11+2≥2a111a11+2=4,
當且僅當a11=1a11時取等號,
則a2≥4成立;
(ii)由an>0得,an+1-an=an+1an≥0,
∴an+1≥an>0,則an+1-an=an+1an1,
由a2≥4得,a3-a2≥1,a4-a3≥1,…,an-an-1≥1,
以上 n-1個不等式相加得,an≥(n-2)+4=n+2(n≥2),
當n≥2時,Sn=a1+a2+a3+…+an
≥1+4+(3+2)+…+(n+2)≥(1+2)+(2+2)+…+(n+2)-2
=n3+n+22-2=n2+5n42,
當n=1時,由(i)知S1=a1>1≥12+5×142,
綜上可得,對于任意n∈N*,都有Snn2+5n42

點評 本題數(shù)列與不等式結(jié)合的綜合題,考查新定義的運用,等差數(shù)列的前n項和公式,以及放縮法、基本不等式的應(yīng)用,考查化簡、變形能力,推理證明能力.

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