分析 (1)根據(jù)“比差等數(shù)列”的定義,寫出一個“比差等數(shù)列”的前3項即可;
(2)(i)當n=1時可得a2−a1=a2a1,求出a2利用分離常數(shù)法化簡,由an>0可得a1>1,利用基本不等式證明a2≥4;
(ii)由an>0得an+1-an=an+1an≥0,得an+1≥an>0從而得到an+1-an=an+1an≥1,列出n-1個不等式并相加得an≥n+2(n≥2),當n≥2時利用放縮法和等差數(shù)列的前n項和公式化簡后,得到Sn的不等式再驗證n=1時是否成立即可.
解答 (1)解:一個“比差等數(shù)列”的前3項可以是:2,4,163;
(2)(i)證明:當n=1時,a2−a1=a2a1,
∴a2=a11−1a1=a12a1−1=a12−1+1a1−1=a1−1+1a1−1+2,
∵an>0,∴a2=a12a1−1>0,則a1-1>0,即a1>1,
∴a2=a1−1+1a1−1+2≥2√(a1−1)•1a1−1+2=4,
當且僅當a1−1=1a1−1時取等號,
則a2≥4成立;
(ii)由an>0得,an+1-an=an+1an≥0,
∴an+1≥an>0,則an+1-an=an+1an≥1,
由a2≥4得,a3-a2≥1,a4-a3≥1,…,an-an-1≥1,
以上 n-1個不等式相加得,an≥(n-2)+4=n+2(n≥2),
當n≥2時,Sn=a1+a2+a3+…+an
≥1+4+(3+2)+…+(n+2)≥(1+2)+(2+2)+…+(n+2)-2
=n(3+n+2)2-2=n2+5n−42,
當n=1時,由(i)知S1=a1>1≥12+5×1−42,
綜上可得,對于任意n∈N*,都有Sn>n2+5n−42.
點評 本題數(shù)列與不等式結(jié)合的綜合題,考查新定義的運用,等差數(shù)列的前n項和公式,以及放縮法、基本不等式的應(yīng)用,考查化簡、變形能力,推理證明能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 57+24π | B. | 57+15π | C. | 48+15π | D. | 48+24π |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{1}{3} | B. | -\frac{1}{3} | C. | 3 | D. | -3 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com