Question

4．已知點(diǎn)P（3，3），Q（3，-3），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{|\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}|≤12}\\{|\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OM}|≤12}\end{array}\right.$，則點(diǎn)M所構(gòu)成的平面區(qū)域的內(nèi)切圓和外接圓半徑之比為（　�。�

• A． $\frac{1}{\sqrt{2}}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2\sqrt{2}}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 先根據(jù)向量數(shù)量積化簡(jiǎn)約束條件，畫(huà)出可行域，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：∵P（3，3），Q（3，-3），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{OP}=（3，3），\overrightarrow{OQ}=（3，-3）$，又動(dòng)點(diǎn)M（x，y），即$\overrightarrow{OM}=（x，y）$，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{|\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}|≤12}\\{|\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{OM}|≤12}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{|3x+3y|≤12}\\{|3x-3y|≤12}\end{array}\right.$，
畫(huà)出可行域如圖，

由點(diǎn)到直線的距離公式可得O到直線x+y-3=0的距離d=$\frac{|-3|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴點(diǎn)M所構(gòu)成的平面區(qū)域的內(nèi)切圓和外接圓半徑之比為$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及平面區(qū)域，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，正確理解題意是關(guān)鍵，是中檔題．