Question

已知函數(shù)f(x)=

0 (x≤a) ( x-a a-b )2 (a＜x＜b) 1 (x≥b)

（Ⅰ）證明：對任意x≥

a+b

2

，都有f（x）≥

1

4

；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)c，使f（c）≥

a+b

2

？若存在，求出c的取值范圍M若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）先考查二次函數(shù)y=(

x-a

a-b

)  2，它在區(qū)間[

a+b

2

，+∞）上是增函數(shù)，得出對任意b＞x≥

a+b

2

，都有f（x）≥

1

4

；
另一方面，當(dāng)x≥b時，f（x）≥

1

4

從而得出結(jié)論，
（II）先假設(shè)存在實數(shù)c，使f（c）≥

a+b

2

，先取f（c）=

a+b

2

，求出c的值，再結(jié)合二次函數(shù)數(shù)y=(

x-a

a-b

)  2在區(qū)間（a，+∞）上的單調(diào)性即可得到：存在c的取值范圍M=[a+

a+b 2

(b-a)，+∞），使f（c）≥

a+b

2

成立．

解答：解：（I）對任意x≥

a+b

2

，考察二次函數(shù)y=(

x-a

a-b

)  2，
它在區(qū)間[

a+b

2

，+∞）上是增函數(shù)，
且當(dāng)x=

a+b

2

時，f（

a+b

2

）=

1

4

，
∴對任意b＞x≥

a+b

2

，都有f（x）≥

1

4

；
另一方面，當(dāng)x≥b時，f（x）=1≥

1

4

．
∴對任意x≥

a+b

2

，都有f（x）≥

1

4

；
（II）若存在實數(shù)c，使f（c）≥

a+b

2

先取f（c）=

a+b

2

，且c∈（a，b）
解之得：c=a+

a+b 2

(b-a)，
而二次函數(shù)數(shù)y=(

x-a

a-b

)  2在區(qū)間（a，+∞）上是增函數(shù)，
所以當(dāng)c≥a+

a+b 2

(b-a)時，f（c）≥

a+b

2

成立
此時出c的取值范圍為M=[a+

a+b 2

(b-a)，+∞）
所以存在c的取值范圍M，使f（c）≥

a+b

2

成立．

點評：本題考查了函數(shù)的值域和函數(shù)最值的應(yīng)用，屬于難題．抓住函數(shù)分段的解析式，再結(jié)合函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性，是解決本題的關(guān)鍵．