已知關(guān)于x的實系數(shù)二次方程x2＋ax＋b＝0有兩實根α、β，證明：

①如果｜α｜＜2，｜β｜＜2，則2｜a｜＜4＋b且｜b｜＜4;

②如果2｜a｜＜4＋b且｜b｜＜4，則｜α｜＜2，｜β｜＜2．

 

答案：
解析：

證明：(1)∵｜α｜＜2，｜β｜＜2，由韋達定理，

∴｜b｜＝｜αβ｜＝｜α｜·｜β｜＜4．

設(shè)f(x)＝x2＋ax＋b，如圖，拋物線開口向上，又｜α｜＜2，｜β｜＜2，

∴即

∴－(4＋b)＜2a＜4＋b2｜a｜＜4＋b．

(2)由2｜a｜＜4＋b得4＋2a＋b＞0，

即f(2)＞0;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

且4－2a＋b＞0，　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    ②

即f(－2)＞0．

由此可知，f(x)＝0的每個實根或者在－2與2之間，或者在－2與2之外．

1)若兩根α，β均在－2與2之外，則與｜b｜＝｜αβ｜＜4相矛盾．

2)若α（或β）在－2與2之外，由于｜b｜＝｜αβ｜＜4，則另一根β(或α）必須落在－2與2之間．

∴f(－2)＜0（或f(2)＜0），這與①、②式矛盾．

綜上所述，α，β必須落在－2與2之間．

∴｜α｜＜2，｜β｜＜2．

 

 

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集為R，則M=
a+3b+4c
b-a
的最小值是
2
5
+5
2
5
+5
．

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a+2b+4cb-a
的最小值是
8
8
．

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bi
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（1）求b，c的值；（2）求方程的二根x1，x2．

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2-
2
2-
2
．

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已知關(guān)于x的實系數(shù)一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集為R，則的最小值是    ．

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