Question

如圖，有一塊四邊形BCED綠化區(qū)域，其中∠C=∠D=90°，BC=BD=

3

，CE=DE=1，現(xiàn)準備經(jīng)過DB上一點P和EC上一點Q鋪設水管PQ，且PQ將四邊形BCED分成面積相等的兩部分，設DP=x，EQ=y．
（1）求x，y的關系式；  （2）求水管PQ的長的最小值．

Answer 1

分析：（1）延長BD、CE交于A，利用S_△ADE=S_△BDE=S_△BCE=

3

2

，S_△APQ=

3

可建立x，y的關系式； 
（2）利用余弦定理表示出PQ，再借助于基本不等式求出水管PQ的長的最小值．

解答：解：（1）延長BD、CE交于A，則AD=

3

，AE=2     則S_△ADE=S_△BDE=S_△BCE=

3

2

∵S_△APQ=

3

，∴

1

4

(x+

3

)(y+2)=

3

∴x，y的關系式為：(x+

3

)(y+2)=4

3

（2）PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQcos30°
=(x+

3

)2+(

4 3

x+ 3

)2-2×4

3

×

3

2

≥2•4

3

-12=8

3

-12
當(x+

3

)2=(

4 3

x+ 3

)2，即x=2

4	3

-

3

時，PQmin=

8 3 -12

=2

2 3 -3

，
∴水管PQ的長的最小值為2

2 3 -3

．

點評：本題主要考查變量關系，考查余弦定理及基本不等式的運用，有一定的綜合性．