Question

已知橢圓

x2

2

+

y2

4

=1與射線y=

2

x（x≥0）交于點A，過A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，它們與橢圓的另一個交點分別為點B和點C．
（Ⅰ）求證：直線BC的斜率為定值，并求這個定值；
（Ⅱ）求三角形ABC的面積最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得A(1，

2

)，設(shè)AB的斜率為k，則AC的斜率為-k，所以

y- 2 =k(x-1) 2x2+y2=4

，由此可知直線BC的斜率為定值，并且能夠求出這個定值．
（Ⅱ）設(shè)BC方程為y=

2

x+m，由

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

得4x2+2

2

mx+m2-4=0，得|BC|=

3

.

4- 1 2 m2

，A到BC的距離為d=

|m|

3

；由此可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意得A(1，

2

)，設(shè)AB的斜率為k，則AC的斜率為-k，
所以

y- 2 =k(x-1) 2x2+y2=4

，代入得x1+x2=

2k2-2 2 k

2+k2

，又∵x₁=1，∴xB=

k2-2 2 k-2

k2+2

；同理xC=

k2+2 2 k-2

k2+2

．kBC=

yB-yC

xB-xC

=

kxB-k+ 2 +kxC-k- 2

xB-xC

=

2

為定值．（8分）
（Ⅱ）設(shè)BC方程為y=

2

x+m，由

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

得4x2+2

2

mx+m2-4=0，得|BC|=

3

.

4- 1 2 m2

，A到BC的距離為d=

|m|

3

；
所以S△=

1

2

|BC|•d=

1

2

|m|

4- 1 2 m2

=

1

2

m2(4- 1 2 m2)

=

2

4

m2(8-m2)

≤

2

．
當(dāng)m²=8-m²時，即m²=4時“=”成立，此時△＞0成立．（14分）

點評：圓錐曲線的綜合大題，主要考查解析幾何的有關(guān)知識，以及分析問題與解決問題的能力．基本上是每年一道大題．主要是以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的形式出現(xiàn)．考查學(xué)生基本方法和基本運算，值得引起重視的一個現(xiàn)象是字母多的運算，同時要注意其與平面向量以及導(dǎo)數(shù)的知識的綜合命題．