Question

13．如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{3}$=1（a＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線F₂P與y軸的正半軸交于A點(diǎn)，△APF₁的內(nèi)切圓在邊PF₁上的切點(diǎn)為Q，若|F₁Q|=4，則a=4．

Answer 1

分析 設(shè)△APF₁的內(nèi)切圓的圓心為M，AF₁、AF₂與圓M的切點(diǎn)分別為E、F，連結(jié)ME、MF、MQ，由題意得EF₁=F₁Q=FF₂=4，PF=PQ，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)△APF₁的內(nèi)切圓的圓心為M，AF₁、AF₂與圓M的切點(diǎn)分別為E、F，
連結(jié)ME、MF、MQ，
由題意得EF₁=F₁Q=FF₂=4，PF=PQ，
∴2a=PF₁+PF₂=F₁Q+PQ+PF₂=F₁Q+PF+PF₂=F₁Q+FF₂=8，
∴a=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的長半軸的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．