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4.已知F1,F(xiàn)2為橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左、右焦點,O是坐標(biāo)原點,過F2作垂直于x軸的直線MF2交橢圓于M(2,1).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過左焦點F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點,若OAOB=0,求直線l的方程.

分析 (Ⅰ)求出c的值,根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出a,b的值,從而求出橢圓C的方程即可;
(Ⅱ)設(shè)出A、B的坐標(biāo),設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),根據(jù)直線和橢圓的方程求出k的值,從而求出直線方程即可.

解答 解:(Ⅰ)由條件知c=2,且2a2+1b2=1,由a2=b2+c2
解得,a=2b=2,…(4分)
所以橢圓方程為x24+y22=1.…(5分)
(Ⅱ)設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),
當(dāng)l⊥x軸時,A(-2,-1),B(-2,1),所以OAOB≠0,…(6分)
設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),
代入橢圓方程得(1+2k2)x2+42k2x+4k2-4=0.       …(8分)
所以{x1+x2=42k21+2k2x1x2=4k241+2k2                       …(9分)
OAOB=0,得x1x2+y1y2=0.…(10分)
x1•x2+k2(x1+2)(x2+2
=(1+k2)x1•x2+2k2(x1+x2)+2k2=0.
代入得1+k24k241+2k2-42k22k21+2k2+2k2=0,
解得:k=±2.…(12分)
所以直線l的方程為y=±2(x+2),
2xy+2=02x+y+2=0

點評 本試題主要是考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用.

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